Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, schönen guten Morgen meine Damen und Herren. 11.12, jawoll. Wunderbar. Die Videoaufzeichnung

scheint extrem gut zu sein, wenn hier keiner mehr in die Folie so kommt. Es ist vielleicht

auch einfach zu früh, obwohl bei dem schönen Wetter kann man sich ja doch ein bisschen

eher rausbewegen aus dem Bettchen. Wir waren beim letzten Mal stehen geblieben beim

Gaiorkenverfahren. Ich hatte Ihnen das motiviert anhand eines Startbeispieles und hatte dann

das nochmal allgemein angegeben in der Form, dass man also sagt, ich habe hier das Gaiorkenverfahren

in der Form, dass man das gewichtete Residuum hat, dass man im Gebiet aufstellt, indem

man Ansatzfunktionen einsetzt, multipliziert mit einer Wichtungsfunktion. Eigentlich W,

hier hatte ich das jetzt schon auf H spezifiziert, die Omega, also die Formfunktion hier plus

den Neumannrand, das ist der Spannungsrand nachher, auch hier als Wichtungsfunktion,

die Formfunktion auf dem Rand mal das Residuum auf dem Neumannrand soll 0 sein mit J gleich

1 bis N Ansatzfunktionen, so viele wie man halt freie Parameter in seinem Ansatz hat.

Dann muss man dieses hier partiell integrieren, diesen Term, bis man Symmetrie in den Ableitungen

hat und das ist dann sozusagen die Form, mit der man weitermacht. Wir wollen das Ganze

jetzt nochmal nicht für den Stab, sondern am Beispiel der 3D Elastostatik uns überlegen.

Also jetzt noch einmal das sozusagen ausrechnen, um das Verfahren nochmal klar zu machen. Die

Differentialgleichung, also jetzt gehe ich schon wieder auf diese Tensornotation über

die Differenz des Spannungstensors plus rho mal f, irgendwelche Volumenlasten bezogen

hier auf die Dichte soll gleich 0 sein in V. Ich schreibe jetzt Volumen statt Omega,

weil wir tatsächlich jetzt 3D Elastostatik machen, da kann man das Gebiet Omega ja tatsächlich

spezifizieren als Volumen. Dann gibt es hier die Randspannung, die gegebenen Randspannung

T minus N mal Sigma N ist der nach außen gerichtete normalen Vektor auf dem Rand, soll

ebenfalls 0 sein auf dem Rand St, also das entspricht hier Omega, das entspricht dem

Neumannrand, die Spannungsrandbedingungen sagen, dass die Randspannung, die aus dem Spannungsfeld

im Inneren, das ist ja Sigma, mal N, den normalen Vektor, das ist über das Cauchy-Gesetz,

die Spannung auf dem Rand in Folge der inneren Spannung, müssen gleich sein den gegebenen

Randlasten, das ist die Kraftrandbedingung sozusagen. Und wir haben eine Verschiebungsrandbedingung,

das U quer, das sind die gegebenen Verschiebungen minus die sozusagen Feldfunktion U gleich

0 sein muss auf dem Verschiebungsrand SU, das entspricht hier dem Dirichletrand. So,

es gilt das Stoffgesetz, das brauchen wir noch, Sigma ist gleich C mal Epsilon und wenn

ich das so in Tensoren schreibe, ist dieser Stofftensor ein vierstufiger Tensor, also

ich mache das hier durch vier Pfeile und es gilt diese Verschiebungs-Verzerrungsrelation

bis ein halb, Epsilon ist also ein halb Gradient U plus Gradient U transponiert, sodass wenn

ich das einsetze, hier das Sigma sich ausdrücken lässt über das Stoffgesetz durch die Verzerrung

und die Verzerrung sich wiederum durch die Verschiebung ausdrücken lassen, sodass ich,

das haben wir ja schon mal gemacht, diese ganze Differentialgleichung hier als Differentialgleichung

in den Verschiebungen ausdrücken kann. Das heißt im Prinzip folgt hier, dass das Sigma

eine Funktion der Verschiebung ist U und U, das ist jetzt die unbekannte Feldfunktion,

die man sucht, unbekanntes Verschiebungsfeld. Gut und was man jetzt macht, wenn ich jetzt

das Gajorkenverfahren anwenden möchte, ist man nimmt für das unbekannte Feld eine Ansatzfunktion

und zwar nennen wir die U tilde, das ist die Näherungsfunktion, wie immer die aussehen

soll und zwar so, dass das U tilde gleich U quer auf SU ist. Das heißt ich verlange,

dass die Ansatzfunktion U tilde die gegebenen Diriclebedingungen, also die gegebenen Verschiebungsbedingungen

exakt erfüllt. Das war ja eine Voraussetzung für das Gajorkenverfahren, dass man sagt,

die Ansatzfunktion soll die Diriclebedingungen, das heißt die Verschiebungsrandbedingungen

in diesem Fall exakt erfüllen, dann gibt es kein Residuum auf dem Diriclerand, taucht

hier ja auch nicht auf, das ist exakt Null und deshalb braucht man diesen Term nicht.

So jetzt brauche ich noch Wichtungsfunktion, das ist hier natürlich auch ein Vektor, den

nenne ich jetzt V-Vektor und den wählt man so, dass folgendes gilt, dass das W null ist